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\author{2024级数学与应用数学1班}
\title{常微分方程重要定理复习题解答}
\date{2025年11月27日}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents

\newpage 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Cauchy–Lipschitz 定理（解的存在唯一性定理）}

(1)叙述该定理的条件与结论。(2)举例说明一个满足 Lipschitz 条件从而保证初值问题解存在且唯一的微分方程。(3)再举一个不满足 Lipschitz 条件导致解不唯一的例子。(4)简述该定理证明中使用的逐次逼近法（Picard 迭代）的基本思想。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}
    \item[\textbf{(1)}] \textbf{Cauchy–Lipschitz 定理（解的存在唯一性定理）}：  
    考虑初值问题
    \[
    \frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0.
    \]
    若函数 $f(x, y)$ 在矩形区域 $R = \{(x, y) : |x - x_0| \le a,\, |y - y_0| \le b\}$ 上连续，且关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件，即存在常数 $L > 0$，使得对任意 $(x, y_1), (x, y_2) \in R$，有
    \[
    |f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L |y_1 - y_2|,
    \]
    则存在 $h > 0$（其中 $h \le a$），使得该初值问题在区间 $|x - x_0| \le h$ 上存在唯一的连续可微解。

    \item[\textbf{(2)}] 例如，考虑初值问题
    \[
    \frac{dy}{dx} = y, \quad y(0) = 1.
    \]
    此处 $f(x, y) = y$，显然在任意有界区域上关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件（因 $\partial f/\partial y = 1$ 有界），故由 Cauchy–Lipschitz 定理知解存在且唯一，实际解为 $y(x) = e^x$。

    \item[\textbf{(3)}] 考虑初值问题
    \[
    \frac{dy}{dx} = \sqrt{|y|}, \quad y(0) = 0.
    \]
    函数 $f(y) = \sqrt{|y|}$ 在 $y = 0$ 附近连续，但其导数在 $y = 0$ 处无界，不满足 Lipschitz 条件。该问题有两个不同的解：$y(x) \equiv 0$ 和 $y(x) = \frac{1}{4}x^2$（当 $x \ge 0$），说明解不唯一。

    \item[\textbf{(4)}] \textbf{Picard 逐次逼近法}的基本思想是将微分方程的初值问题转化为等价的积分方程：
    \[
    y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, y(t))\,dt,
    \]
    然后定义迭代序列：
    \[
    y_0(x) = y_0, \quad y_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, y_n(t))\,dt, \quad n = 0, 1, 2, \dots
    \]
    在 $f$ 满足 Lipschitz 条件和连续性的前提下，可证明 $\{y_n(x)\}$ 在某个小区间上一致收敛到唯一解 $y(x)$。
\end{enumerate}
}

%\item \textbf{Peano 存在性定理}：写出该定理的假设条件和结论，并与 Cauchy–Lipschitz 定理进行比较，指出其弱化了哪个条件、牺牲了什么结论。试构造一个仅满足 Peano 定理条件但不满足 Lipschitz 条件的初值问题，并说明为何其解可能不唯一。

\newpage 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{解的延拓定理}

(1)叙述最大存在区间及解可延拓的含义。(2)说明在何种条件下一个局部解可以延拓为全局解？(3)举例说明一个解在其最大存在区间端点处“爆破”（blow-up）的情形，并解释为何无法进一步延拓。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}
    \item[\textbf{(1)}] \textbf{最大存在区间}是指包含初始点 $x_0$ 的最大开区间 $(\alpha, \beta)$，使得初值问题的解 $y(x)$ 在该区间上有定义且满足微分方程。若存在更大的区间包含 $(\alpha, \beta)$ 仍能使解满足方程，则原区间非最大。  
    \textbf{解可延拓}是指：若解 $y(x)$ 定义在区间 $I$ 上，且存在端点（如右端点 $\beta$）处的极限 $\lim_{x \to \beta^-} y(x) = y_\beta$ 有限，并且 $f(x, y)$ 在 $(\beta, y_\beta)$ 附近连续，则可在 $\beta$ 右侧继续定义解，即原解可向右延拓。

    \item[\textbf{(2)}] 若函数 $f(x, y)$ 在整个带形区域 $\{(x, y) : x \in \mathbb{R},\, y \in \mathbb{R}\}$ 上连续且关于 $y$ 满足全局 Lipschitz 条件（Lipschitz 常数与区域无关），则任意初值问题的局部解均可延拓为定义在整个实轴 $\mathbb{R}$ 上的\textbf{全局解}。  
    更一般地，只要解的图像始终保持在 $f$ 的定义域内且不趋于无穷，则解可继续延拓。

    \item[\textbf{(3)}] 考虑初值问题：
    \[
    \frac{dy}{dx} = y^2, \quad y(0) = 1.
    \]
    其显式解为 $y(x) = \frac{1}{1 - x}$，定义在最大存在区间 $(-\infty, 1)$ 上。当 $x \to 1^-$ 时，$y(x) \to +\infty$，即发生“爆破”（blow-up）。由于解在 $x=1$ 处无有限极限，无法定义 $y(1)$，故不能将解延拓到包含 $x=1$ 的更大区间。因此该解在其最大存在区间的右端点处不可延拓。
\end{enumerate}
}

\newpage 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{齐次线性微分方程组解的叠加原理}

(1)设 $\mathbf{x}_1(t), \dots, \mathbf{x}_k(t)$ 是齐次线性微分方程组 $\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}$ 的解，说明它们的任意线性组合仍是解的原因。(2)结合具体二阶方程的例子，说明如何利用叠加原理构造通解。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}
    \item[\textbf{(1)}] 考虑齐次线性微分方程组
    \[
    \mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x},
    \]
    其中 $A(t)$ 是 $n \times n$ 连续矩阵函数。设 $\mathbf{x}_1(t), \dots, \mathbf{x}_k(t)$ 是该方程组的解，即满足 $\mathbf{x}_i'(t) = A(t)\mathbf{x}_i(t)$（$i=1,\dots,k$）。  
    对任意常数 $c_1, \dots, c_k$，令 $\mathbf{x}(t) = c_1\mathbf{x}_1(t) + \cdots + c_k\mathbf{x}_k(t)$。由于导数和矩阵乘法均为线性运算，有
    \[
    \mathbf{x}'(t) = \sum_{i=1}^k c_i \mathbf{x}_i'(t) = \sum_{i=1}^k c_i A(t)\mathbf{x}_i(t) = A(t) \sum_{i=1}^k c_i \mathbf{x}_i(t) = A(t)\mathbf{x}(t).
    \]
    因此 $\mathbf{x}(t)$ 也是原方程组的解，这称为\textbf{叠加原理}。

    \item[\textbf{(2)}] 考虑二阶齐次线性常微分方程
    \[
    y'' - y = 0.
    \]
    其对应的方程组形式为 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} y \\ y' \end{pmatrix}$，$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。  
    容易验证 $y_1(t) = e^t$ 和 $y_2(t) = e^{-t}$ 都是原方程的解。根据叠加原理，它们的任意线性组合
    \[
    y(t) = c_1 e^t + c_2 e^{-t}, \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R},
    \]
    也是解。由于 $y_1$ 与 $y_2$ 线性无关，该表达式即为方程的\textbf{通解}。
\end{enumerate}
}

\newpage 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{刘维尔公式（Wronski 行列式的性质）}

(1)写出刘维尔公式的形式，并说明它如何描述 Wronski 行列式 $W(t)$ 随时间的变化规律。(2)利用该公式判断给定的一组函数是否可能构成某个二阶线性齐次方程的基本解组。(3)简述其证明中对行列式求导的关键步骤。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}
    \item[\textbf{(1)}] 考虑二阶线性齐次微分方程
    \[
    y'' + p(t)y' + q(t)y = 0,
    \]
    其中 $p(t), q(t)$ 在区间 $I$ 上连续。设 $y_1(t), y_2(t)$ 是该方程的两个解，其 Wronski 行列式定义为
    \[
    W(t) = W[y_1, y_2](t) = 
    \begin{vmatrix}
    y_1(t) & y_2(t) \\
    y_1'(t) & y_2'(t)
    \end{vmatrix} = y_1(t)y_2'(t) - y_1'(t)y_2(t).
    \]
    \textbf{刘维尔公式}指出：
    \[
    W(t) = W(t_0)\, \exp\!\left(-\int_{t_0}^{t} p(s)\,ds\right), \quad \forall\, t \in I.
    \]
    这表明 $W(t)$ 要么恒为零（当 $W(t_0)=0$），要么在 $I$ 上处处非零；且其变化仅由系数 $p(t)$ 决定，呈指数衰减或增长。

    \item[\textbf{(2)}] 若给定两个函数 $y_1(t), y_2(t)$，可计算其 Wronski 行列式 $W(t)$。  
    例如，设 $y_1(t) = \cos t$, $y_2(t) = \sin t$，则
    \[
    W(t) = \cos t \cdot \cos t - (-\sin t) \cdot \sin t = \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \neq 0.
    \]
    由于 $W(t)$ 恒不为零且光滑，根据刘维尔公式反推可知存在某个二阶线性齐次方程（事实上是 $y'' + y = 0$）以它们为基本解组。  
    反之，若 $W(t) \equiv 0$，则两函数线性相关，不能构成基本解组。

    \item[\textbf{(3)}] 证明刘维尔公式的关键是对 $W(t) = y_1 y_2' - y_1' y_2$ 直接求导：
    \[
    W'(t) = y_1' y_2' + y_1 y_2'' - y_1'' y_2 - y_1' y_2' = y_1 y_2'' - y_1'' y_2.
    \]
    利用 $y_1, y_2$ 满足原方程 $y_i'' = -p(t) y_i' - q(t) y_i$（$i=1,2$），代入得
    \[
    W'(t) = y_1(-p y_2' - q y_2) - (-p y_1' - q y_1) y_2 = -p(t)(y_1 y_2' - y_1' y_2) = -p(t) W(t).
    \]
    于是得到一阶线性微分方程 $W' + p(t)W = 0$，解之即得刘维尔公式。
\end{enumerate}
}

% \item \textbf{常系数齐次线性微分方程的特征方程定理}：以 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程为例，说明如何通过特征方程求得基本解组。分别讨论特征根为单实根、重实根、共轭复根三种情形下对应的线性无关解的形式。举例写出一个三阶方程并求出其通解结构。

\newpage 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{非齐次线性微分方程通解结构定理}

(1)叙述该定理的内容，即通解 = 对应齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解。(2)说明为什么这一结构成立。(3)结合一个具体的二阶非齐次方程，说明如何验证某函数是其特解，并据此写出通解。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}
    \item[\textbf{(1)}] \textbf{非齐次线性微分方程通解结构定理}：  
    考虑 $n$ 阶线性非齐次微分方程
    \[
    y^{(n)} + p_{n-1}(t)y^{(n-1)} + \cdots + p_1(t)y' + p_0(t)y = g(t),
    \]
    其中 $p_i(t)$ 和 $g(t)$ 在区间 $I$ 上连续。设 $y_h(t)$ 是对应齐次方程（即 $g(t) \equiv 0$）的通解，$y_p(t)$ 是非齐次方程的一个特解，则非齐次方程的通解为
    \[
    y(t) = y_h(t) + y_p(t).
    \]

    \item[\textbf{(2)}] 该结构成立的原因在于线性微分算子 $\mathcal{L}$ 的线性性。令
    \[
    \mathcal{L}[y] = y^{(n)} + p_{n-1}(t)y^{(n-1)} + \cdots + p_0(t)y,
    \]
    则原方程为 $\mathcal{L}[y] = g(t)$。若有特解 $\mathcal{L}[y_p] = g(t)$，则对满足 $\mathcal{L}[y] = g(t)$ 的任意解 $y$，
    \[
    \mathcal{L}[y - y_p] = \mathcal{L}[y] - \mathcal{L}[y_p] = g(t) - g(t) = 0,
    \]
    故 $y - y_p$ 是齐次方程的解，即 $y = y_h + y_p$。反之，任意 $y_h + y_p$ 都满足非齐次方程，因此构成通解。

    \item[\textbf{(3)}] 考虑二阶非齐次方程：
    \[
    y'' - 3y' + 2y = e^{t}.
    \]
    对应齐次方程为 $y'' - 3y' + 2y = 0$，其特征方程为 $r^2 - 3r + 2 = 0$，根为 $r=1,2$，故齐次通解为
    \[
    y_h(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t}.
    \]
    猜测特解形式为 $y_p(t) = A t e^{t}$（因 $e^t$ 已是齐次解，需乘以 $t$）。计算得：
    \[
    y_p' = A e^{t} + A t e^{t}, \quad y_p'' = 2A e^{t} + A t e^{t},
    \]
    代入方程左边：
    \[
    (2A e^{t} + A t e^{t}) - 3(A e^{t} + A t e^{t}) + 2(A t e^{t}) = (2A - 3A)e^{t} = -A e^{t}.
    \]
    令其等于 $e^{t}$，得 $-A = 1$，即 $A = -1$，故 $y_p(t) = -t e^{t}$ 是一个特解。  
    因此，原方程的通解为
    \[
    y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t} - t e^{t}.
    \]
\end{enumerate}
}

\newpage 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{幂级数解的柯西定理（常微分方程解析解存在性定理）}

(1)叙述该定理的内容，即当微分方程的系数在某点解析时，其初值问题在该点邻域内存在唯一的解析解（可展开为收敛幂级数）。
(2)说明该定理适用于何种类型的方程（如线性或非线性）。
(3)以一个二阶线性方程为例（如 Legendre 方程或 Airy 方程），说明如何利用该定理保证幂级数解法的合理性，并简述证明思路中对递推关系与收敛半径的估计。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}
    \item[\textbf{(1)}] \textbf{幂级数解的柯西定理（解析存在唯一性定理）}：  
    考虑 $n$ 阶常微分方程的初值问题
    \begin{align*}
    & y^{(n)} = F\bigl(x, y, y', \dots, y^{(n-1)}\bigr), \\ 
    & y(x_0) = y_0,\; y'(x_0) = y_1,\; \dots,\; y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}.
    \end{align*}
    若函数 $F$ 在点 $(x_0, y_0, y_1, \dots, y_{n-1})$ 的某个复邻域内是\textbf{解析函数}（即局部可展开为收敛的多元幂级数），则存在 $x_0$ 的一个实邻域，在该邻域内上述初值问题存在唯一的\textbf{解析解} $y(x)$，即 $y(x)$ 可表示为关于 $(x - x_0)$ 的收敛幂级数。

    \item[\textbf{(2)}] 该定理既适用于\textbf{线性}也适用于\textbf{非线性}常微分方程，只要右端函数 $F$ 在初始点附近解析。特别地，对于线性方程
    \[
    y^{(n)} + p_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_0(x)y = g(x),
    \]
    若所有系数函数 $p_i(x)$ 和非齐次项 $g(x)$ 在 $x_0$ 处解析，则满足定理条件，保证存在唯一的解析解。

    \item[\textbf{(3)}] 以\textbf{Legendre 方程}为例：
    \[
    (1 - x^2)y'' - 2x y' + \ell(\ell + 1)y = 0,
    \]
    其中 $\ell$ 为常数。将方程改写为标准形式：
    \[
    y'' = \frac{2x}{1 - x^2} y' - \frac{\ell(\ell + 1)}{1 - x^2} y.
    \]
    系数函数 $\frac{2x}{1 - x^2}$ 和 $\frac{\ell(\ell + 1)}{1 - x^2}$ 在 $|x| < 1$ 内解析（因分母在 $x = \pm 1$ 处为零，但在 $x=0$ 附近无奇点）。因此，由柯西定理可知，对任意初值 $y(0), y'(0)$，存在唯一在 $|x| < 1$ 内收敛的幂级数解。  

    在幂级数解法中，设 $$y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n,$$ 代入方程可得系数 $\{a_n\}$ 的\textbf{递推关系}。柯西定理的证明思路通过控制递推系数的增长速率，利用优级数（majorant series）方法估计 $|a_n|$，从而证明幂级数的收敛半径至少等于系数函数的最小收敛半径（此处为 1），确保形式幂级数确实代表一个解析函数。
\end{enumerate}
}

\newpage 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Liapunov 稳定性基本定理}

(1)叙述 Liapunov 稳定性、渐近稳定性的定义，并写出 Liapunov 直接法中的基本定理（包括正定函数与导数负定的条件）。(2)针对一个平面自治系统，说明如何构造合适的 Liapunov 函数来判断零解的稳定性。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}
    \item[\textbf{(1)}] 考虑自治系统
    \[
    \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{f}(\mathbf{0}) = \mathbf{0},
    \]
    其中 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，$\mathbf{f}$ 在原点邻域内连续可微。

    \begin{itemize}
        \item \textbf{Liapunov 稳定性}：零解 $\mathbf{x}(t) \equiv \mathbf{0}$ 称为（Liapunov）稳定的，若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $\|\mathbf{x}(0)\| < \delta$ 时，对所有 $t \ge 0$ 有 $\|\mathbf{x}(t)\| < \varepsilon$。
        
        \item \textbf{渐近稳定性}：零解称为渐近稳定的，若它稳定，且存在 $\delta_0 > 0$，使得当 $\|\mathbf{x}(0)\| < \delta_0$ 时，$\lim\limits_{t \to \infty} \mathbf{x}(t) = \mathbf{0}$。
    \end{itemize}

    \textbf{Liapunov 直接法基本定理}：  
    设存在标量函数 $V(\mathbf{x})$ 在原点某邻域 $U$ 内连续可微，满足：
    \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
        \item $V(\mathbf{0}) = 0$，且在 $U \setminus \{\mathbf{0}\}$ 上 $V(\mathbf{x}) > 0$（即 $V$ 正定）；
        \item 沿系统轨线的导数 $\dot{V}(\mathbf{x}) = \nabla V(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{f}(\mathbf{x})$ 在 $U \setminus \{\mathbf{0}\}$ 上满足 $\dot{V}(\mathbf{x}) \le 0$（半负定），则零解稳定；
        \item 若进一步 $\dot{V}(\mathbf{x}) < 0$ 在 $U \setminus \{\mathbf{0}\}$ 上成立（即 $\dot{V}$ 负定），则零解渐近稳定。
    \end{enumerate}

    \item[\textbf{(2)}] 以平面系统为例：
    \[
    \begin{cases}
    \dot{x} = -x + y^3, \\
    \dot{y} = -y.
    \end{cases}
    \]
    原点是平衡点。尝试构造二次型 Liapunov 函数 $V(x, y) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$，显然 $V(0,0)=0$ 且在原点附近正定。计算其沿轨线的导数：
    \[
    \dot{V} = x\dot{x} + y\dot{y} = x(-x + y^3) + y(-y) = -x^2 - y^2 + x y^3.
    \]
    在原点充分小的邻域内（如 $\|(x,y)\| < r$ 且 $r$ 很小），高阶项 $|x y^3| \le |x||y|^3 \ll x^2 + y^2$，故 $\dot{V} < 0$（除原点外）。严格来说，可取更精细的 $V$ 或限制区域，但此例说明：通过选择简单的正定函数（如能量型函数），计算 $\dot{V}$ 并分析其符号，即可判断稳定性。若 $\dot{V}$ 负定，则零解渐近稳定。
\end{enumerate}
}

% \item \textbf{Sturm 比较定理}：设两个二阶线性齐次微分方程 $y'' + q_1(x)y = 0$ 与 $y'' + q_2(x)y = 0$，其中 $q_1(x) < q_2(x)$，叙述 Sturm 比较定理关于其非平凡解零点分布的结论。举例说明如何利用该定理估计某方程解的振荡频率或零点间距。

% \item \textbf{Poincaré–Bendixson 定理}：叙述该定理的条件（平面上的有界正向轨道、不含奇点的闭区域等）与结论（极限集为周期轨道）。说明该定理为何在高维系统中不成立。尝试描述一个满足定理条件的二维自治系统，并解释其相图中可能出现极限环的原因。


\end{document}